Liviu ORNEA | Progresul – încotro?

Ce înseamnă progres în matematică

        Matematica are un statut aparte faţă de celelalte ştiinţe. Acestea se ocupă, declarat, cu studiul şi înţelegerea realităţii înconjurătoare, cu descifrarea (şi formularea) legilor naturii. Ele pornesc de la observaţie şi se bazează, de cele mai multe ori, pe experiment. Teoriile lor pot fi contextuale, marcate istoric – şi, deci, invalidate de noi teorii bazate pe experimente din ce în ce mai sofisticate, posibile datorită avansului tehnologic.

        Matematica, pe de altă parte, nu studiază realitatea înconjurătoare, ci nişte construcţii abstracte, tot de matematicieni create, care nu au corespondent în realitate – chiar dacă, la început, sursa inspiraţiei tot realitatea fizică a fost. Nu există, totuşi, în natură, puncte, nici drepte, nu există cercuri şi nici pi. Poate că obiectele matematice sînt un fel de idei platoniciene. Iar că modelele matematice se aplică atît de bine unor segmente ale realităţii rămîne un continuu prilej de uimire: The unreasonable effectiveness of mathematics, a spus Eugene Wigner. Să nu uităm, totuşi, că şi ştiinţele experimentale tot cu modele operează – de obicei, de complexitate mult redusă faţă de cea a obiectului sau sistemului studiat.

        Lucrînd cu abstracţiuni şi ne­pro­pu­nîndu-şi să desluşească realitatea, matematica foloseşte exclusiv raţionamentul, logica. De aceea, un rezultat odată demonstrat corect, rămîne veşnic valid în cadrul teoriei respective.

        „Faptele sînt lucruri în care nu te poţi încrede prea mult. Dar împotriva argumentelor, faptele sînt neputincioase“, spune Quaresma, personajul lui Pessoa. Matematica nu e, totuşi, o subspecie a logicii, nu se poate imagina un automat care, folosind doar regulile logicii, să demonstreze toate teoremele posibile – visul acesta a fost spulberat, încă din anii 30, de Gödel. În plus, intuiţia, de alt tip, totuşi, decît a artiştilor, hrănită şi îngrădită de reguli, are un rol important în ghidarea raţionamentului matematic. Nu e, totuşi, de mirare că unii preferă să aşeze matematica în rînd cu artele, mai degrabă, decît cu ştiinţele.

        În ce poate consta, atunci, progresul în matematică? Gîndim mai bine decît Euclid? Folosim mai bine decît el principiile logicii? Nu cred. Sau, dacă e aşa, atunci poate fi doar un progres fiziologic, al alcătuirii noastre, care se răsfrînge şi asupra matematicii.

        Ştim, neîndoios, mai mult pe măsură ce trece timpul. Dar simpla acumulare de cunoştinţe – teoreme demonstrate – nu e un progres (sau e unul banal). În schimb, complexitatea din ce în ce mai mare a construcţiilor cu care lucrăm, gradul din ce în ce mai mare de abstractizare – chiar dacă, de cele mai multe ori, cine urmăreşte evoluţia ideilor matematice poate desluşi originea simplă a acestor concepte sofisticate –, folosirea combinată a metodelor de analiză, geometrie, algebră, acesta, da, e un progres.

        Stau în picioare şi azi rezultatele demonstrate de greci sau de matematicienii Evului de mijloc, de cei ai secolelor XVI, XVII? Aici, răspunsul e mai nuanţat. Ce s-a schimbat, de fapt, în timp, e gradul de rigoare pe care l-am cerut de la o demonstraţie. Am devenit din ce în ce mai precauţi, am verificat mai atent şi nu ne-am mai lăsat convinşi de afirmaţii insuficient argumentate. Aşa se face că unele dintre afirmaţiile grecilor, de pildă, s-au dovedit adevărate – deşi incorect sau nu complet demonstrate de ei. Le-am demonstrat noi, modernii, riguros, dar enunţurile au rămas în picioare. Avem partea noastră de merit, dar intuiţia celor vechi a funcţionat şi creditul trebuie să le revină. La fel cum, pentru demonstrarea conjecturii lui Poincaré, creditul îi revine lui Perelman, care a dat ideile şi a schiţat în cîteva (puţine) zeci de pagini demonstraţia pusă complet la punct în cîteva sute de pagini de alţi matematicieni. Cred că şi sporul de rigoare care a dus, între altele, la examinarea critică a fundamentelor e un progres.

        Există, însă, şi „demonstraţii“ sau e­nunţuri în care toţi credeau la un moment dat şi care s-au dovedit, la o examinare ulterioară, mai atentă, sau după descoperirea unor noi exemple, greşite. Aşa s-a crezut, bunăoară, pînă la Weierstrass, că orice funcţie continuă e derivabilă în afara unei mulţimi de puncte izolate.

        În timp, probleme care au rezistat zeci sau sute de ani au fost rezolvate. E un progres al cunoaşterii, indiscutabil. Nu ştim, însă, niciodată – nu avem cum şti – dacă un rezultat nu a putut fi demonstrat atunci cînd a fost enunţat (bănuit, simţit ar spune unii) din pricina lipsei unor tehnici potrivite sau din pricina insuficientei înzestrări, a lipsei de imaginaţie a celor care s-au aplecat asupra lui. Andrew Wiles a demonstrat teorema lui Fermat cu un aparat de geometrie algebrică extrem de sofisticat, pe care Fermat nu l-ar fi putut înţelege. Dar nimeni nu poate afirma că nu există şi o demonstraţie elementară – ascunsă nouă, deocamdată (ca atare, mulţi nu obosesc să o caute).

        O schimbare spectaculoasă de di­recţie a constituit-o inventarea (sau re­cu­noaşterea existenţei) geometriilor neeuclidiene. Saccheri, Lambert, Gauss, Lobacevsky, I. Bolyai, Riemann au contribuit, fiecare, la impunerea noii idei. Unii dintre ei (Gauss, Bolyai) au avut, limpede, sentimentul că sînt parte a unei revoluţii. Nu atît în matematică – în filozofie: raportarea lui Gauss, de exemplu, la Kant e evidentă, mai ales în scrisori. Şi nu e de mirare: matematica, la fel ca celelalte ştiinţe, e parte a culturii. Istoria matematicii e parte a istoriei culturii, a istoriei ideilor. Matematica, mai ales în secolele XVIII-XX, nu poate fi separată de filozofie – cum nici de fizică. Există dialog, stimulare şi fertilizare reciprocă.

        Cine contemplă devenirea ideilor în matematică nu poate să nu observe o explozie a noţiunilor şi a metodelor pornită în secolul al XIX-lea şi continuată accelerat în secolul XX. De fapt, marile schimbări apar înainte, odată cu descoperirea analizei matematice de către Leibniz şi Newton, şi merg paralel cu perfecţionarea ei şi cu aplicaţiile analizei în algebră şi geometrie. Schimbarea majoră de paradigmă din secolul XX, momentul Alexander Grothendieck, probabil neîntrecut deocamdată, nici complet asimilat, e de aceeaşi natură, dar cu semn schimbat: la el, algebra şi geometria apar în prim plan. E ceea ce cred că marchează cel mai bine progresul în matematică. O paradigmă nouă, în cadrul aceluiaşi tip de logică, o viziune nouă şi unificatoare asupra relaţiilor între domeniile mari ale matematicii, una care conduce la dezvoltări spectaculoase în fiecare dintre ele.

        La un asemenea rezultat nu se ajunge prin efort concertat, direcţionat. E sigur că Grothendieck a apărut atunci cînd terenul era cumva pregătit, cînd noţiunile de la care a pornit ajunseseră la un anumit grad de maturitate, dar ce a făcut el e singular şi excepţional. Nu se poate spune că dacă nu era el, era altcineva care ar fi făcut acelaşi lucru. La fel, nimeni nu poate afirma că, la un moment dat, oricum s-ar fi ajuns la formularea ipotezei lui Riemann, chiar fără Riemann. E o situaţie complet diferită de cea din ştiinţele experimentale. Mai apropiată de artă, da!

        Ceea ce nu înseamnă că nu există efort concertat şi rezultate obţinute astfel. Exemplul cel mai la îndemînă e clasificarea grupurilor finite simple, muncă de mulţi ani a mai multor echipe coordonate de Daniel Gorenstein. Demonstraţia finală, operă colectivă, însumează peste o mie de pagini – şi cîţi, în afara lui Gorenstein însuşi, mort în 1992, o mai pot verifica? Dacă, în principiu, o asemenea demonstraţie-mamut poate fi, încă, verificată cu mijloacele tradiţionale, demonstraţiile în care calculatorul joacă un rol esenţial scapă complet verificării clasice şi par să introducă o nouă paradigmă în cercetarea matematică. Un progres?

P.S. Îi mulţumesc lui Vasile Brînzănescu pentru discuţiile avute pe marginea unei prime versiuni a acestui articol.

Liviu Ornea este profesor la Facultatea de Matematică a Universităţii din Bucureşti.