In cele ce urmeaza ne vom ocupa de natura solutiilor si valoarea acestora,in cazul ecua-
tiei a - x2 = √r2 - x2 cu r si a numere reale pozitive,date.Notam cu t = x2 si observam ca 
trebuie ca t <= a si t <= r2.Ecuatia devine acum a - t = √r2 - t si conduce la ecuatia 
echivalenta  t2-(2a - 1)t + a2 - r2 = 0 (*).Aceasta are descriminantul D=4(r2-a+1/4),
p=a2-r2 si s=2(a-1/2).Analizand valorile D,p si s deducem urmatoarele :    
     1 -daca a > r2+1/4 ecuatia (*) nu are radacini reale;
     2 -daca a = r2+1/4 ecuatia (*) are radacini reale si egale t1,2=r2-1/4,cu urmatoarele sub-
              cazuri:
               2.1 -daca r < 1/2 nu are radacini reale;
               2.2 -daca r = 1/2  are radacina t = 0 si avem x = 0,acceptata de ecuatia 
               initiala;
               2.3 -daca r > 1/2  are radacini t = r2-1/4 si avem x1,2=±√r2 -1/4,acceptate 
               de ecuatia initiala;
     3 -daca a < r2+1/4 ecuatia (*) are radacinile reale t1 diferita de t2,date de 
       t1=a-1/2+√r2-a+1/4,respectiv t2=a-1/2-√r2-a+1/4.Avem r2+1/4>r2 pentru orice r real,
       dar r si r2 isi schimba pozitia,dupa cum r<1 sau r>1.Se impune,deci,un studiu dife-
       rentiat in functie de pozitionarea lui r fata de numarul 1.   
              3.1 -daca r < 1 atunci r2 < r si avem:
                    3.1.1-daca a < r2 atunci p < 0 impune radacini de semne contrare,care 
                          sunt ambele neconvenabile;
                    3.1.2-daca a = r2 atunci t1=r2,deci x1,2=±r,iar t2=a-1 < 0,nu convine;                             
                    3.1.3-daca r2 < a < r  atunci t1 convine,t2 nu, si avem doua radacini 
                         x1,2=±√t1;
                    3.1.4-daca a = r atunci t1=2(r-1/2) si t2= 0,deci:
                            3.1.4.1-daca  r < 1/2 avem doar x1,2=0; 
                            3.1.4.2-daca  r = 1/2 avem  x1,2=x3,4=0;
                            3.1.4.3-daca  r > 1/2 avem  x1,2=±√2r-1 si x3,4=0 ;                                                     
                    3.1.5-daca a > r atunci p > 0 impune radacini de acelas semn,si cum 
                         s=2(a-1/2) avem urmatoarele:
                            3.1.5.1-daca  a < 1/2 avem radacini negative in t,deci nu avem 
                                    radacini reale;
                            3.1.5.2-daca  a = 1/2 avem s=0,caz imposibil; 
                            3.1.5.3-daca  a > 1/2 avem t1,2> 0,convin si x1,2=±√t1,  
                                    x3,4=±√t2;  
             3.2 -daca r = 1 = r2 atunci t1,2=a-1/2±√5/4-a si avem :                                    
                    3.2.1-daca a > 5/4  atunci nu avem radacini reale;
                    3.2.2-daca a = 5/4 atunci t1,2=3/4 si x1,2=±√3/2;  
                    3.2.3-daca a < 5/4 atunci distingem cazurile:
                            3.2.3.1-daca 1 < a < 5/4  avem p > 0,s > 0 si convin ambii t,
                                    deci sunt patru radacini:x1,2=±√t1,x3,4=±√t2;
                            3.2.3.2-daca  a = 1  avem p = 0,s > 0,t1=1,t2=0,x1,2=±1,x3,4=0;
                            3.2.3.3-daca  a < 1  avem p < 0,s > 0,t1 > 0,t2 <0,dar nu con-
                                    vine t si nu avem radacini;                            
             3.3 -daca r > 1 atunci r2 > r si avem:
                    3.3.1-daca a < r avem p < 0 si t > 0 nu convine,deci nu sunt radacini;
                    3.3.2-daca a = r avem p = 0 si t1=2r-1 nu convine,iar t2=0,cu x1,2=0;
                    3.3.3-daca r < a < r2 avem p > 0 si s > 0,deci t1,2 > 0,dar convine 
                                doar t2 si x1,2=±√t2;  
                    3.3.4-daca a = r2 avem t1=r2 si t2=r2-1,deci x1,2=±r si x3,4=±√r2-1;    
                    3.3.5-daca r2 < a  avem t1,2 > 0 si convin amandoua,deci x1,2=±√t1,
                              x3,4=±√t2 .



Un program destept si rapid


  Aici,in functie de valorile luate pentru r si a,generam ecuatiile,stabilim situatia in 
care ne aflam si gasim solutiile ,daca exista.Introduceti in campurile indicate valoarea 
lui r =  si a = .Acum analizam situatia apasand acest buton 
 Ecuatia irationala este :               . Ecuatia echivalenta este :                . Valoarea discriminantului este  

Geometria,bat-o vina

 Din punct de vedere geometric,abordarea ecuatiei inseamna,determinarea punctelor comune 
unei parabole cu varful pe Oy si unui semicerc situat deasupra axei Ox,cu centrul in ori-
gine si de raza r.
 Programul urmator traseaza cele doua curbe si determina punctele comune,selectand solu-
tiile convenabile.Ca sa il vedeti la lucru,dati un CLICK aici.






Intra in joc analiza matematica

 Masurand acum distanta dintre fiecare punct al parabolei respective, si punctul semicer-
cului,pe verticala,obtinem  functia:f(x) = a-x2- √r2-x2, cu -r <= x <= r.
 Intersectia graficului cu axa Oy este in f(0)= a-r.Intersectia cu axa Ox este conditionata 
de cazurile discutate in primul paragraf.Derivata acesteia este f'(x)=x(-2+1/√r2-x2).  In ca-
petele intervalului,graficul va avea semitangente paralele cu Oy.
 Avem o radacina in origine si in functie de valorile lui r suntem in unul din cazurile :
   -daca r<=1/2 radacina este doar in origine;
   -daca r>1/2  avem si radacinile ±√r2-1/4;
 Toate radacinile derivatei,cand exista,sunt puncte de extrem si valoarea functiei in 
±√r2-1/4 este  f(±√r2-1/4) = a-r2-1/4.
 Din studiul de mai sus se desprind cazurile :r<1/2 , r=1/2 , 1/2 < r < 1 , r=1 si r > 1 . 
Am reprezentat cele cinci grafice,pentru un a fixat, in  figura urmatoare.
 Daca luam functia conjugata f(x) = a-x2+√r2-x2 avem f(x)>=0 ;f(0)=a+r > 0 ;f(±r)=a-r2 si 
derivata f'(x)=-x(2+1/√r2-x2).Aceasta are o singura radacina in origine si este pozitiva 
pe (-r,0) si negativa pe (0,r).Graficele celor cinci cazuri sunt prezentate   aici.

 Consideram acum ecuatia curbei y1= a-x2- √r2-x2, si y2 conjugata acesteia.   
 Daca notam cu u(x)=r2-x2 si  v(x) = a-x2 si formam ecuatia in y cu aceste radacini,
obtinem : y2- 2vy + v2- u = 0 ,adica ecuatia unei curbe algebrice  de ordinul al patrulea.
 Prezentam,in urmatoarele planse,imaginile curbelor cu doua ramuri obtinute pentru r fixat 
si a trecan prin toate cazurile:
   -pentru r < 1/2   Apasa aici !
   -pentru r = 1/2   Apasa aici !
   -pentru 1/2 < r < 1   Apasa aici !
   -pentru r = 1   Apasa aici !
   -pentru r > 1   Apasa aici !
 Daca luam y3=-y1 si y4=-y2 obtinem ecuatia unei alte curbe algebrice de acelasi ordin,si 
anume y2+ 2vy + v2- u = 0 . Reunind cele doua familii de curbe obtinem o curba algebrica 
de ordinul opt,descrisa de ecuatia :y4-2(v2+u)y2+(v2-u)2=0.Aceasta are patru ramuri,doua 
cate doua simetrice fata de axele Ox si Oy. 
 Vedem ,in cele ce urmeaza,curbele cu patru ramuri,generate in conditiile enuntate anterior:            
   -pentru r < 1/2   Apasa aici !
   -pentru r = 1/2   Apasa aici !
   -pentru 1/2 < r < 1   Apasa aici !
   -pentru r = 1   Apasa aici !
   -pentru r > 1   Apasa aici !

 Ca ultima aplicatie integratoare prezentam un program care traseaza curbele initiale,le stu-
diaza pozitia si punctele comune si genereaza curbele cu patru ramuri aferente.
 Vedeti acestea cu urmatorul program,apelabil aici.