In cele ce urmeaza ne vom ocupa de natura solutiilor si valoarea acestora,in cazul ecua-
tiei a - x2 = √r2 - x2 cu r si a numere reale pozitive,date.Notam cu t = x2 si observam ca
trebuie ca t <= a si t <= r2.Ecuatia devine acum a - t = √r2 - t si conduce la ecuatia
echivalenta t2-(2a - 1)t + a2 - r2 = 0(*).Aceasta are descriminantul D=4(r2-a+1/4),
p=a2-r2 si s=2(a-1/2).Analizand valorile D,p si s deducem urmatoarele :
1 -daca a > r2+1/4 ecuatia (*) nu are radacini reale;
2 -daca a = r2+1/4 ecuatia (*) are radacini reale si egale t1,2=r2-1/4,cu urmatoarele sub-
cazuri:
2.1 -daca r < 1/2 nu are radacini reale;
2.2 -daca r = 1/2 are radacina t = 0 si avem x = 0,acceptata de ecuatia
initiala;
2.3 -daca r > 1/2 are radacini t = r2-1/4 si avem x1,2=±√r2 -1/4,acceptate
de ecuatia initiala;
3 -daca a < r2+1/4 ecuatia (*) are radacinile reale t1 diferita de t2,date de
t1=a-1/2+√r2-a+1/4,respectiv t2=a-1/2-√r2-a+1/4.Avem r2+1/4>r2 pentru orice r real,
dar r si r2 isi schimba pozitia,dupa cum r<1 sau r>1.Se impune,deci,un studiu dife-
rentiat in functie de pozitionarea lui r fata de numarul 1.
3.1 -daca r < 1 atunci r2 < r si avem:
3.1.1-daca a < r2 atunci p < 0 impune radacini de semne contrare,care
sunt ambele neconvenabile;
3.1.2-daca a = r2 atunci t1=r2,deci x1,2=±r,iar t2=a-1 < 0,nu convine;
3.1.3-daca r2 < a < r atunci t1 convine,t2 nu, si avem doua radacini
x1,2=±√t1;
3.1.4-daca a = r atunci t1=2(r-1/2) si t2= 0,deci:
3.1.4.1-daca r < 1/2 avem doar x1,2=0;
3.1.4.2-daca r = 1/2 avem x1,2=x3,4=0;
3.1.4.3-daca r > 1/2 avem x1,2=±√2r-1 si x3,4=0 ;
3.1.5-daca a > r atunci p > 0 impune radacini de acelas semn,si cum
s=2(a-1/2) avem urmatoarele:
3.1.5.1-daca a < 1/2 avem radacini negative in t,deci nu avem
radacini reale;
3.1.5.2-daca a = 1/2 avem s=0,caz imposibil;
3.1.5.3-daca a > 1/2 avem t1,2> 0,convin si x1,2=±√t1,
x3,4=±√t2;
3.2 -daca r = 1 = r2 atunci t1,2=a-1/2±√5/4-a si avem :
3.2.1-daca a > 5/4 atunci nu avem radacini reale;
3.2.2-daca a = 5/4 atunci t1,2=3/4 si x1,2=±√3/2;
3.2.3-daca a < 5/4 atunci distingem cazurile:
3.2.3.1-daca 1 < a < 5/4 avem p > 0,s > 0 si convin ambii t,
deci sunt patru radacini:x1,2=±√t1,x3,4=±√t2;
3.2.3.2-daca a = 1 avem p = 0,s > 0,t1=1,t2=0,x1,2=±1,x3,4=0;
3.2.3.3-daca a < 1 avem p < 0,s > 0,t1 > 0,t2 <0,dar nu con-
vine t si nu avem radacini;
3.3 -daca r > 1 atunci r2 > r si avem:
3.3.1-daca a < r avem p < 0 si t > 0 nu convine,deci nu sunt radacini;
3.3.2-daca a = r avem p = 0 si t1=2r-1 nu convine,iar t2=0,cu x1,2=0;
3.3.3-daca r < a < r2 avem p > 0 si s > 0,deci t1,2 > 0,dar convine
doar t2 si x1,2=±√t2;
3.3.4-daca a = r2 avem t1=r2 si t2=r2-1,deci x1,2=±r si x3,4=±√r2-1;
3.3.5-daca r2 < a avem t1,2 > 0 si convin amandoua,deci x1,2=±√t1,
x3,4=±√t2 .
Un program destept si rapid
Aici,in functie de valorile luate pentru r si a,generam ecuatiile,stabilim situatia in
care ne aflam si gasim solutiile ,daca exista.Introduceti in campurile indicate valoarea
lui r = si a = .Acum analizam situatia apasand acest buton
Ecuatia irationala este : . Ecuatia echivalenta este : . Valoarea discriminantului este
Geometria,bat-o vina
Din punct de vedere geometric,abordarea ecuatiei inseamna,determinarea punctelor comune
unei parabole cu varful pe Oy si unui semicerc situat deasupra axei Ox,cu centrul in ori-
gine si de raza r.
Programul urmator traseaza cele doua curbe si determina punctele comune,selectand solu-
tiile convenabile.Ca sa il vedeti la lucru,dati un CLICK aici.
Intra in joc analiza matematica
Masurand acum distanta dintre fiecare punct al parabolei respective, si punctul semicer-
cului,pe verticala,obtinem functia:f(x) = a-x2- √r2-x2, cu -r <= x <= r.
Intersectia graficului cu axa Oy este in f(0)= a-r.Intersectia cu axa Ox este conditionata
de cazurile discutate in primul paragraf.Derivata acesteia este f'(x)=x(-2+1/√r2-x2). In ca-
petele intervalului,graficul va avea semitangente paralele cu Oy.
Avem o radacina in origine si in functie de valorile lui r suntem in unul din cazurile :
-daca r<=1/2 radacina este doar in origine;
-daca r>1/2 avem si radacinile ±√r2-1/4;
Toate radacinile derivatei,cand exista,sunt puncte de extrem si valoarea functiei in
±√r2-1/4 este f(±√r2-1/4) = a-r2-1/4.
Din studiul de mai sus se desprind cazurile :r<1/2 , r=1/2 , 1/2 < r < 1 , r=1 si r > 1 .
Am reprezentat cele cinci grafice,pentru un a fixat, in figura urmatoare.
Daca luam functia conjugata f(x) = a-x2+√r2-x2 avem f(x)>=0 ;f(0)=a+r > 0 ;f(±r)=a-r2 si
derivata f'(x)=-x(2+1/√r2-x2).Aceasta are o singura radacina in origine si este pozitiva
pe (-r,0) si negativa pe (0,r).Graficele celor cinci cazuri sunt prezentate aici.
Si din nou geometria
Consideram acum ecuatia curbei y1= a-x2- √r2-x2, si y2 conjugata acesteia.
Daca notam cu u(x)=r2-x2 si v(x) = a-x2 si formam ecuatia in y cu aceste radacini,
obtinem : y2- 2vy + v2- u = 0 ,adica ecuatia unei curbe algebrice de ordinul al patrulea.
Prezentam,in urmatoarele planse,imaginile curbelor cu doua ramuri obtinute pentru r fixat
si a trecan prin toate cazurile:
-pentru r < 1/2Apasa aici !
-pentru r = 1/2Apasa aici !
-pentru 1/2 < r < 1Apasa aici !
-pentru r = 1Apasa aici !
-pentru r > 1Apasa aici !
Daca luam y3=-y1 si y4=-y2 obtinem ecuatia unei alte curbe algebrice de acelasi ordin,si
anume y2+ 2vy + v2- u = 0 . Reunind cele doua familii de curbe obtinem o curba algebrica
de ordinul opt,descrisa de ecuatia :y4-2(v2+u)y2+(v2-u)2=0.Aceasta are patru ramuri,doua
cate doua simetrice fata de axele Ox si Oy.
Vedem ,in cele ce urmeaza,curbele cu patru ramuri,generate in conditiile enuntate anterior:
-pentru r < 1/2Apasa aici !
-pentru r = 1/2Apasa aici !
-pentru 1/2 < r < 1Apasa aici !
-pentru r = 1Apasa aici !
-pentru r > 1Apasa aici !
Ca ultima aplicatie integratoare prezentam un program care traseaza curbele initiale,le stu-
diaza pozitia si punctele comune si genereaza curbele cu patru ramuri aferente.
Vedeti acestea cu urmatorul program,apelabil aici.