CURBE CU PATRU RAMURI

Autor:Profesor IONEL DANCESCU

Prezentam aici un studiu pentru f(x)=g(x)=a2-x2 ,-a<=x<=a .Avem ramurile y1 = f(x)+√f(x) >=0 si y2 = -y(1) <=0 cu y1(0)=a2+a si y2(0)=-a2-a .Puncte de intersectie cu axa Ox sunt doar A(-a,0) si A'(a,0) .Derivata este y'1,2=±f'(x)(1+1/(2√f(x))) si avem cate un punct de extrem in origine,iar monotonia este data doar de semnul lui f'.Vedem cele doua solutii generand curba ilustrata aici(CLICK). Ramurile y3 si y4 au o variatie mai bogata.Avem y(0)=±a(a-1) ,deci punctele de intersectie cu axa Oy depind de pozitionarea lui a fata de numarul 1.Punctele de intersectie cu axa Ox sunt A si A' de mai sus si eventualele solutii ale ecuatiei f(x)= =1 ,adica x2 = a2-1 ceea ce duce la concluzia :
-daca a<1 nu avem alte puncte de intersectie ;CLICK aici! -daca a=1 avem si originea O(0,0);CLICK aici! -daca a>1 avem si alte doua puncte de abscise x =±√a2-1 ;CLICK aici! Variatia curbelor este data de semnele derivatelor y'3,4=±f'(x)(1-1/(2√f(x))) ,adica de semnele lui f'(x) si de semnele expresiei din paranteza.Derivata u'(x)=-2x are radacina in origine ,deci vom avea o valoare extrema pe axa Oy. Expresia din paranteza,isi modifica semnele in legatura cu radacinile ecuatiei f(x)= 1/4 ,adica x2 = a2-1/4 . Concluzionam urmatoarele:
-daca a<1/2 sau a=1/2 variatia o da doar semnul lui f'(x);CLICK aici! -daca a>1/2 avem doua puncte de extrem de abscise x'=±√a2-1/4 .CLICK aici! Valoarea extrema atinsa de curba,in aceste puncte, nu depinde de valoarea lui a si aceasta este y(x') = ±1/4 . Reunite cele patru ramuri ale curbei,in functie de valorile numarului a, reprezinta urmatoarele imagini geometrice:

1.Ovale :a=1/2 ;CLICK aici!

2.Oval si cocon :a=0.81 ;CLICK aici!

3.Oval si papillion :a=1; CLICK aici!

4.Ou impistrat_1 :a=1.44; CLICK aici!

5.Ou impistrat_2 : a=2.55 ;CLICK aici!

Oricare doua solutii ale ecuatiei genereaza o curba cu doua ramuri. Am ilustrat perechile y1 cu y2 si y3 cu y4,iar acum le vom relua si vom prezenta si celelalte cazuri,in sumarul urmator:

1.Oval simplu:y1 cu y2 si a=1;CLICK aici

2.Papillion(Gantela):y3 cu y4 si a=1;CLICK aici

3.Cusma_1 : y1 cu y3 si a=1; CLICK aici!

4.Cusma_2 : y1 cu y4 si a=1; CLICK aici!

5.Cusma_3 : y2 cu y3 si a=1; CLICK aici!

6.Cusma_4 : y2 cu y4 si a=1; CLICK aici!

Avem acum posibilitatea sa aruncam o privire la fiecare tip de curba inchisa,din cele sapte, generate de solutiile ecuatiei initiale,pentru functia studiata. Valorile parametrului a sunt: 0.25; 0.81; 1 ; 1.44 si 2.25.

1.Oval simplu:y1 cu y2 ;CLICK aici

2.Papillion(Gantela):y3 cu y4 ;CLICK aici

3.Cusma_1 : y1 cu y3 ; CLICK aici!

4.Cusma_2 : y1 cu y4 ; CLICK aici!

5.Cusma_3 : y2 cu y3 ; CLICK aici!

6.Cusma_4 : y2 cu y4 ; CLICK aici!

7.Oua impistrate : Toate solutiile; CLICK aici!

Curba poate fi parametrizata punand : x=a·cost ,0<=t<= PI ,u(x)=a2·sin2t si avem y= ±[a2·sin2t(+-)a·sint]. Pentru alte functii continue am obtinut curbe inchise,respectiv deschise care urmaresc ,in general, formele si comportamentul prezentat in acest articol. In tabelele de mai jos prezentam o colectie de curbe ,studiate in pasii prezentati in paragrafele anterioare. Dupa deschiderea ferestrei corespunzatoare curbei,introduceti valori indicate pentru parametrii ceruti si in coltul din stanga-jos vedeti graficul functiei f(x).In functie de numarul de puncte de intersectie cu dreapta y=1,vedeti numarul de puncte,ale curbei corespunzatoare, situate pe Ox,altele decat marginile de intevale.Deasemenea,numarul de puncte comune cu dreapta y=1/4 va spune cate extreme in radacinile derivatei avem,altele decat radacinile lui f'(x). Pe panza mare va apare curba corespunzatoare numarului de ramuri selectat,iar sub panza, expresiile lui f(x) si y(f(x)). Curba generata de primul buton (y1 cu y2) nu se supune acestor considerente.

SUCCES !

CURBE DESCHISE.

1. f(x)=x+a

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

2. f(x)=x2-a2

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

3. f(x)=x(a2-x2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

4. f(x)=x(a2-x2)(x2-b2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

5. f(x)=(a2-x2)(b2-x2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

6. f(x)=arccos(x/a)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

7. f(x)=tg(x/a)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

8. f(x)=sin(x/a)+x

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

CURBE INCHISE.

1. f(x)=a2-x2

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

2. f(x)=(a2-x2)(x2-b2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

3. f(x)=ln(a2-x2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

4. f(x)=arccos|x/a|

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

5. f(x)=cos(x/a)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

6. f(x)=(a2-x2)(x2-b2)(x2-c2)

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

7. f(x)=[sin(x/a)]/x

CLICK aici,ca sa faci reprezentarile!

Hunedoara,
26.01.2011