Masurand acum distanta dintre fiecare punct al parabolei respective, si punctul semicer- cului,pe verticala,obtinem urmatoarele functii:f(x) = r2-x2- √r2-x2;f(x) = r-x2- √r2-x2 si f(x) =r2+1/4-x2- √r2-x2,cu -r <= x <= r.Le vom studia,pe rand,variatia si le vom reprezenta graficul. 1. f(x) = r2-x2- √r2-x2 Intersectia cu axa Oy este in f(0)=r(r-1).Intersectia cu axa Ox este in A1(-r , 0); A2(r , 0) daca r<1,inca in origine daca r=1 si inca in punctele A3(-√r2-1,0),respectiv A4(√r2-1,0),daca r>1. Derivata acesteia si a celorlalte doua functii este f'(x)=x(-2+1/√r2-x2).In capetele intervalului,graficul va avea semitangente paralele cu Oy. Avem o radacina in origine si in functie de valorile lui r suntem in unul din cazurile : -daca r<=1/2 radacina este doar in origine; -daca r>1/2 avem si radacinile ±√r2-1/4; Toate radacinile derivatei,cand exista,sunt puncte de extrem si valoarea functiei in ±√r2-1/4 este,in toate cazurile considerate,egala cu -1/4. Din studiul de mai sus se desprind cazurile :r<1/2 , r=1/2 , 1/2 < r < 1 , r=1 si r > 1 . Am reprezentat cele cinci grafice in figura urmatoare. Daca luam functia conjugata f(x) = r2-x2+√r2-x2 avem f(x)>=0 ;f(0)=r2+r > 0 ;f(±r)=0 si derivata f'(x)=-x(2+1/√r2-x2).Aceasta are o singura radacina in origine si este pozitiva pe (-r,0) si negativa pe (0,r).Graficele celor cinci cazuri sunt prezentate aici. 2. f(x) = r-x2- √r2-x2 Intersectia cu axa Oy este in f(0)= 0.Intersectia cu axa Ox este doar in origine daca r<=1/2 sau r>=1 si inca in punctele A1(-√2r-1,0),respectiv A2(√2r-1,0),daca 1/2 < r < 1. Deasemenea f(±r)=r-r2 are valorile dependente de r. Derivata este a functiei anterioare. Reprezentarile celor cinci grafice este in figura urmatoare. Daca luam functia conjugata f(x) = r-x2+√r2-x2 avem f(x)>=0 ;f(0)=2r > 0 ;f(±r)=r-r2 si derivata are acelasi comportament cu al conjugatei anterioare.Vedem reprezentarile grafice ale celor cinci functii aici. 3. f(x) = r2+1/4-x2- √r2-x2 Intersectia cu axa Oy este in f(0)=(r-1/2)2.Avem f(±r)=-1/4.Intersectia cu axa Ox este doar in origine daca r=1/2,nu exista daca r<1/2 si in punctele A1(-√r2-1/4,0),respectiv A2(√r2-1/4,0),daca r > 1/2. Derivata este identica cu a functiilor anterioare. Reprezentarile celor cinci grafice este in figura urmatoare. Daca luam functia conjugata f(x) = r2+1/4-x2- √r2-x2 avem f(x)>=0 ;f(0)=(r+1/2)2 > 0 ; f(±r)=1/4 si derivata are acelasi comportament cu al conjugatei anterioare.Vedem reprezen- tarile grafice ale celor cinci functii aici.