Consideram acum ecuatia curbei y1= r2-x2- √r2-x2 si y2 conjugata acesteia.Daca notam cu u(x)=r2-x2 si formam ecuatia in y cu aceste radacini,obtinem : y2- 2uy + u2- u = 0 ,adica o ecuatie algebrica a unei curbe de ordinul al patrulea.Daca luam y3=-y1 si y4=-y2 obtinem ecuatia unei alte curbe algebrice de acelasi ordin,si anume y2+ 2uy + u2- u = 0 . Reunind cele doua familii de curbe obtinem o curba algebrica de ordinul opt,descrisa de ecuatia :y4- 2u(u+1)y2 + u2(u - 1)2 = 0.Aceasta are patru ramuri,doua cate doua simetrice fata de axele Ox si Oy. Celelalte doua parabole,in aceleasi considerente si in notatiile u(x)=r2-x2 si v(x), pe rand, egal cu r-x2 si r2+1/4-x2,conduc la ecuatia y4-2(v2+u)y2+(v2-u)2=0. Reprezentarile grafice ale solutiilor acestei ecuatii sunt ramurile unei curbe algebrice de ordin opt si se aseamana cu cele ale ecuatiei anterioare. Asemanarea provine din faptul ca semicercul este acelasi in toate cazurile,iar parabolele sunt translatii ale primei parabole,dea lungul axei Oy cu yo = r-r2,respectiv yo = 1/4. Putem vedea cele specificate,in cazul parabolelor aici. si pentru o curba cu doua ramuri, in imaginea ce se deschide facand un click aici. Aria multimii plane marginita de doua curbe conjugate,este intotdeauna egala cu aria cercului din care provine semicercul initial.Deasemenea,diametrul vertical si "diametrul" orizontal al curbei sunt egale cu diametrul acestui cerc.Distanta intre punctele de extrem si punctele situate pe curba,pentru r >= 0.5 si masurata pe verticala,este intotdeauna egala cu 1.Un program care genereaza curba si traseaza,respectiv calculeaza elementele specificate,este apelabil aici . In urmatoarele imagini ilustram curbele obtinute reunind intai,ramurile conjugate y1 si y2 si apoi,toate cele patru ramuri impreuna cu semicercul si parabola corespunzatoare. Vizualizarea se face astfel : 1. curbe cu doua ramuri : a)cu parabola prin capete aici. b)cu parabola prin pol aici. c)cu parabola posibil tangenta aici. 2. curbe cu patru ramuri si curbele generatoare: a)cu parabola prin capete r < 1/2 ; r = 1/2 ; 1/2 < r < 1 ; r = 1 ; r > 1. b)cu parabola prin pol r < 1/2 ; r = 1/2 ; 1/2 < r < 1 ; r = 1 ; r > 1. c)cu parabola posibil tangenta r < 1/2 ; r = 1/2 ; 1/2 < r < 1 ; r = 1 ; r > 1. Curbele prezentate aici se incadreaza in clasa inclusa in colectia profesorului francez ROBERT FERRÉOL pe pagina http://www.mathcurve.com/courbes2d/polyzomale/polyzomale.shtml cu denumirea de curbe polizomale (zoma=centura in greaca).